ත්‍රිකෝණමිතිය (VII කොටස) - ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සදහා ප්‍රසාරණ සහ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයන්හි ආකලනය හා අන්තරය

sin, cos හා tan පද වල බාග කෝණ ප්‍රසාරණය

sin පද සඳහා බාග කෝණ ප්‍රසාරණ

පෙර පාඩමේදී ජ්‍යාමිතිකව සාධනය කල පහත සම්බන්ධය සලකමු.

sin(A+B) = sinA . cosB + cosA . sinB

මෙහි B වෙනුවට A යෙදීමෙන්;
sin(A+A) = sinA . cosA + cosA . sinA

sin2A = 2sinA . cosA

sin2A සඳහා බාග කෝණ ප්‍රසාරණයක් tan පද වලින් පමණක් ලබා ගත හැකිය.

sin2A = 2sinA . cosA / 1 ලෙස ප්‍රකාශ කල හැකිය. sin²A + cos²A = 1 නිසා;

sin2A = 2sinA . cosA / (sin²A + cos²A)

දකුණු පස ඉහල සහ පහල cos²A ගෙන් බෙදීමෙන්;

sin2A = [2sinA . cosA / cos²A] / [(sin²A + cos²A) / cos²A]

sin2A = [2sinA / cosA] / [(sin²A / cos²A) + 1]

sin2A = 2tanA / (tan²A +1)

sin2A = 2tanA / (1 + tan²A)

cos පද සඳහා බාග කෝණ ප්‍රසාරණ

පෙර පාඩමේදී ජ්‍යාමිතිකව සාධනය කල පහත සම්බන්ධය සලකමු.

cos(A+B) = cosA . cosB -  sinA . sinB

මෙහි B වෙනුවට A යෙදීමෙන්;

cos(A+A) = cosA . cosA -  sinA . sinA

cos2A = cos²A -  sin²A ----(i)

sin²A + cos²A = 1 සම්බන්ධය භාවිතයෙන්  cos2A හි බාග කෝණ ප්‍රසාරණය සඳහා cos පද වලින් පමණක් සහ sin පද වලින් පමණක් ලෙස තවත් සම්බන්ධතා 2ක් ගොඩනගා ගත හැකියි.

sin²A + cos²A = 1 නිසා 

cos²A = 1 - sin²A ----(ii)

sin²A = 1 - cos²A ----(iii)

(i) හා (ii) න්;

cos2A = 1 - sin²A -  sin²A

cos2A = 1 - 2sin²A

(i) හා (iii) න්;

cos2A = cos²A – (1 - cos²A)

cos2A = 2cos²A – 1

cos2A හි බාග කෝණ ප්‍රසාරණය සඳහා tan පද වලින්ද සම්බන්ධයක් ලබා ගත හැකිය.

(i) න්;

cos2A = cos²A -  sin²A

 

මේ සම්බන්ධය;

cos2A = (cos²A -  sin²A) / 1 ලෙසද ප්‍රකාශ කල හැකිය.

sin²A + cos²A = 1 නිසා;

cos2A = (cos²A -  sin²A) / (sin²A + cos²A)

දකුණු පස ඉහල සහ පහල cos²A ගෙන් බෙදීමෙන්;

cos2A = [(cos²A -  sin²A) / cos²A] / [(sin²A + cos²A) / cos²A]

cos2A = [(cos²A / cos²A) -  (sin²A / cos²A)] / [(sin²A / cos²A) + (cos²A / cos²A)]

cos2A = (1 -  tan²A) / (tan²A + 1)

cos2A = (1 -  tan²A) / (1 + tan²A)

tan පද සඳහා බාග කෝණ ප්‍රසාරණ

පෙර පාඩමේදී ජ්‍යාමිතිකව සාධනය කල පහත සම්බන්ධය සලකමු.

tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 – tanA . tanB)

මෙහි B වෙනුවට A යෙදීමෙන්;

tan(A+A) = (tanA + tanA) / (1 – tanA . tanA)

tan2A = 2tanA / (1 – tan²A)

මීට අමතරව sin හා cos පද වල කෝණයේ 3න් 1ක් වන ලෙස ප්‍රසාරණය කරන ආකාරයද මතක තබා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත්ය.

sin3A = sin (A + 2A)

sin3A = sinA . cos2A + cosA . sin2A

sin3A = sinA . (1 – 2sin²A) + cosA . 2sinA . cosA

sin3A = sinA – 2sin³A + 2sinA . cos²A

sin3A = sinA - 2sin³A + 2sinA . (1 – sin²A)

sin3A = 3sinA – 4sin³A

cos3A = cos (A + 2A)

cos3A = cosA . cos2A - sinA . sin2A

cos3A = cosA . (2cos²A - 1) - sinA . 2sinA . cosA

cos3A = 2cos³A – cosA – 2cosA . sin²A

cos3A = 2cos³A – cosA – 2cosA . (1 – cos²A)

cos3A = 4cos³A – 3cosA

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත දෙකක ආකලනය සහ අන්තරය

A + B = C----(i)
A – B = D----(ii)

(i) + (ii) න්;
2A = C + D
A = (C + D) / 2----(iii)

(i) - (ii) න්;
2B = C - D
B = (C - D) / 2----(iv)

sin(A+B) = sinA . cosB +  cosA . sinB ----(v)

sin(A-B) = sinA . cosB - cosA . sinB ----(vi)

(v) + (vi) න්;

sin(A+B) + sin(A-B) = 2sinAcosB

(i), (ii), (iii) හා (iv) න් ආදේශයෙන්;

sinC + sinD = 2 sin[(C+D)/2] . cos[(C-D)/2]

(v) - (vi) න්;

sin(A+B) - sin(A-B) = 2cosAsinB

(i), (ii), (iii) හා (iv) න් ආදේශයෙන්;

sinC - sinD = 2 cos[(C+D)/2] . sin[(C-D)/2]

cos(A+B) = cosA . cosB -  sinA . sinB ----(vii)

cos(A-B) = cosA . cosB + sinA . sinB ----(viii)

(vii) + (viii) න්;

cos(A+B) + cos(A-B) = 2cosAcosB

(i), (ii), (iii) හා (iv) න් ආදේශයෙන්;

cosC + cosD = 2 cos[(C+D)/2] . cos[(C-D)/2]

(vii) - (viii) න්;

cos(A+B) - cos(A-B) = -2sinAsinB

(i), (ii), (iii) හා (iv) න් ආදේශයෙන්;

cosC - cosD = (-2) sin[(C+D)/2] . sin[(C-D)/2]

මේ සම්බන්ධය පහත පරිදිද ප්‍රකාශ කල හැකිය;

cosC - cosD = 2sin[(C+D)/2] . sin[(D-C)/2]

ඉහත සම්බන්ධතා වල විලෝමයන්ද ත්‍රිකෝණමිතියේදී ඉතා ප්‍රයෝජනවත්. මෙම සම්බන්ධතා ගොඩනැගෙන ආකාරය ඉහත සම්බන්ධතා ඇසුරෙන් පහසුවෙන් තේරුම් ගන්න පුළුවන්.

2sinA.cosB = sin(A+B) + sin(A-B)

2cosA.cosB = cos(A+B) + cos(A-B)

2sinA.sinB = cos(A-B) – cos(A+B)

පුහුණුව සඳහා;

tan3A = (3tanA – tan³A) / (1 – 3tan²A)

බව සාධනය කරන්න.

සැකසුම: යසස් ගුණරත්න විසිනි.

Share on Google Plus

Copyright Information

No part of this article (excluding images) may be reproduced, stored in or introduced into a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means (electronic, mechanical, recording or otherwise), without the prior permission. Images on this article belong to their respective owners.