ත්‍රිකෝණමිතිය (VI කොටස) - කෝණ දෙකක ඓක්‍යය සහ අන්තරය සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික සම්බන්ධතා ලබා ගැනීම

sin(A+B) හා cos(A+B) සඳහා සම්බන්ධතා

මෙහිදී ජ්‍යාමිතිකව මෙම සම්බන්ධතා ගොඩ නගන ආකාරය තමයි සාකච්ඡා කරන්නෙ. මෙම සම්බන්ධතා ත්‍රිකෝණමිතියෙදි ඉතාම වැදගත්. ඉදිරියේදි සාකච්ඡා කරන බාග කෝණ ප්‍රසාරණ සඳහාත් මේ සම්බන්ධතා අවශ්‍ය ‍වෙනව.

sin(A+B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම 

OPQΔ න්;
sin(A+B) = PQ/OP-----(i)

නමුත්;
PQ = PN + NQ
NQ = MR ද වන බැවින්;
PQ = PN + MR----(ii)

(i) හා (ii) න්;

sin(A+B) = (PN + MR) / OP
sin(A+B) = (PN/OP) + (MR/OP)
sin(A+B) = (PN/PM).(PM/OP) + (MR/OM).(OM/OP)


PNMΔ න්;
cosA = (PN/PM)

OPMΔ න්;
sinB = (PM/OP)

OMRΔ න්;
sinA = (MR/OM)

OPMΔ න්;
cosB = (OM/OP)

sin(A+B) = cosA . sinB + sinA . cosB

sin(A+B) = sinA . cosB + cosA . sinB


cos(A+B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම

OPQΔ න්;
cos(A+B) = OQ/OP-----(i)

නමුත්;
OQ = OR - QR
QR = NM ද වන බැවින්;
OQ = OR - NM----(ii)

(i) හා (ii) න්;

cos(A+B) = (OR - NM) / OP
cos(A+B) = (OR/OP) - (NM/OP)
cos(A+B) = (OR/OM).(OM/OP) - (NM/PM).(PM/OP)

ORMΔ න්;
cosA = (OR/OM)

OPMΔ න්;
cosB = (OM/OP)

NMPΔ න්;
sinA = (NM/PM)

OPMΔ න්;
sinB = (PM/OP) 

cos(A+B) = cosA . cosB - sinA . sinB 


sin(A-B) හා cos(A-B) සඳහා සම්බන්ධතා

sin(A-B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම

OMRΔ න්;
sin(A-B) = MR/OM-----(i)

නමුත්;
MR = NQ
NQ = PQ - PN ද වන බැවින්;
MR = PQ + PN----(ii)

(i) හා (ii) න්;

sin(A-B) = (PQ - PN) / OM
sin(A-B) = (PQ/OM) - (PN/OM)
sin(A-B) = (PQ/OP).(OP/OM) - (PN/PM).(PM/OM)

OPQΔ න්;
sinA = (PQ/OP)

OPMΔ න්;
cosB = (OP/OM)

PNMΔ න්;
cosA = (PN/PM)

OPMΔ න්;
sinB = (PM/OM) 

sin(A-B) = sinA . cosB - cosA . sinB


cos(A-B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම

OMRΔ න්;
cos(A-B) = OR/OM-----(i)

නමුත්;
OR = OQ + QR
QR = NM ද වන බැවින්;
OR = OQ + NM----(ii)

(i) හා (ii) න්;

cos(A-B) = (OQ + NM) / OM
cos(A-B) = (OQ/OM) + (NM/OM)
cos(A-B) = (OQ/OP).(OP/OM) + (NM/PM).(PM/OM)

OPQΔ න්;
cosA = (OQ/OP)

OPMΔ න්;
cosB = (OP/OM)

PNMΔ න්;
sinA = (NM/PM)

OPMΔ න්;
sinB = (PM/OM) 

cos(A-B) = cosA . cosB + sinA . sinB 


ඉහත ලබා ගත් සම්බන්ධතා 4 භාවිත කරල tan(A+B) හා tan(A-B) සඳහා පහසුවෙන් සම්බන්ධතා ගොඩනගා ගන්න පුළුවන්.



tan(A+B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම


tan(A+B) = sin(A+B) / cos(A+B)
tan(A+B) = (sinA . cosB + cosA . sinB) / (cosA . cosB – sinA . sinB)
tan(A+B) = [(sinA . cosB + cosA . sinB)/cosA . cosB] / [(cosA . cosB – sinA . sinB)/cosA . cosB]
tan(A+B) = (sinA/cosA + sinB/cosB) / [1 – (sinA/cosA)(sinB/cosB)]
tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 – tanA . tanB) 




tan(A-B) සඳහා සම්බන්ධතාව ලබා ගැනීම


tan(A-B) = sin(A-B) / cos(A-B)
tan(A-B) = (sinA . cosB - cosA . sinB) / (cosA . cosB + sinA . sinB)
tan(A-B) = [(sinA . cosB - cosA . sinB)/cosA . cosB] / [(cosA . cosB + sinA . sinB)/cosA . cosB]
tan(A-B) = (sinA/cosA - sinB/cosB) / [1 + (sinA/cosA)(sinB/cosB)]
tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA . tanB)


පහත සර්වසාම්‍යයන් විසඳන්න.

1. sin2A = 2sinA.cosA
2. cos2A = cos²A -sin²A 

ඉහත සම්බන්ධතා හා පාඩමෙහි ඇතුලත් සම්බන්ධතා භාවිතයෙන් පහත සර්වසාම්‍යය විසඳන්න.
sin4A = 4sinA.cos³A – 4cosA.sin³A

මෙහි 1 හා 2 කොටස් වල දැක්වෙන්නෙ බාග කෝණ ප්‍රසාරණයේ අවස්ථා දෙකක්. ඊළඟ පාඩමෙන් වඩාත් විස්තර ඇතිව ඒ සම්බන්ධතා ඇතුළු අනෙක් සම්බන්ධතා සියල්ලම සාකච්ඡා කරන්න පුළුවන්.

සැකසුම: යසස් ගුණරත්න විසිනි.

Share on Google Plus

Copyright Information

No part of this article (excluding images) may be reproduced, stored in or introduced into a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means (electronic, mechanical, recording or otherwise), without the prior permission. Images on this article belong to their respective owners.